В сферической лунке радиуса \(R\) находятся две точечные массы, соединённые невесомым стержнем длины \(2l\). Определите частоту колебаний при движении в направлении: а) перпендикулярном плоскости рисунка; б) параллельном этой плоскости.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Геометрия. Каждая масса удалена от центра сферы на \(R\), а половина стержня равна \(l\), поэтому центр гантели отстоит от центра сферы на
\[ d = \sqrt{R^2-l^2}. \]а. Поперёк рисунка. Гантель поворачивается вокруг горизонтальной оси, которая проходит через центр сферы и лежит в плоскости рисунка. Обе массы удалены от этой оси ровно на \(d\), значит это самый обычный маятник длины \(d\):
\[ \omega_\perp = \sqrt{\frac gd} = \sqrt{\frac{g}{\sqrt{R^2-l^2}}} . \]б. Вдоль рисунка. Теперь гантель «катится» по лунке, поворачиваясь вокруг центра сферы: массы едут по окружностям радиуса \(R\), а центр гантели поднимается как у маятника длины \(d\). Сравним энергии при повороте на угол \(\theta\):
\[ U = 2mg\,d\,(1-\cos\theta) \approx mg\,d\,\theta^2,\qquad K = 2\cdot\frac{m(R\dot\theta)^2}{2} = mR^2\dot\theta^2 . \]Отсюда \(k_{\text{эфф}} = 2mgd\), \(I_{\text{эфф}} = 2mR^2\) и
\[ \omega_\parallel = \sqrt{\frac{2mgd}{2mR^2}} = \frac{\sqrt{g\sqrt{R^2-l^2}}}{R}. \]