Пружина жёсткости \(k\) одним концом присоединена к оси колеса массы \(m\), которое
способно катиться без проскальзывания, а другим прикреплена к стенке. Какова частота
колебаний системы? Масса колеса однородно распределена по ободу.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Катящееся колесо «тяжелее самого себя»: половина его кинетической энергии приходится на
вращение. Для обода эта половина в точности равна поступательной, так что колесо ведёт
себя как тело удвоенной массы.
Пружина тянет за ось, колесо катится без проскальзывания.
Кинетическая энергия. При качении без проскальзывания угловая скорость
связана со скоростью оси: \(\omega_{\text{к}} = v/R\). Для обода \(I = mR^2\), поэтому
\[ K = \frac{mv^2}{2} + \frac{I\omega_{\text{к}}^2}{2}
= \frac{mv^2}{2} + \frac{mR^2}{2}\cdot\frac{v^2}{R^2}
= m v^2 = \frac{(2m)v^2}{2}. \]
То есть колесо ведёт себя как тело массы \(2m\).
Частота.
\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{2m}} . \]
Проверка. Если бы колесо скользило без трения (не крутилось),
было бы \(\omega = \sqrt{k/m}\) — в \(\sqrt2\) раз быстрее ✓. Для сплошного диска
\((I = mR^2/2)\) эффективная масса \(1{,}5m\) и \(\omega = \sqrt{2k/(3m)}\) ✓ —
промежуточное значение, как и должно быть. Радиус в ответ не входит ✓: и большое, и
малое колесо из одного и того же обода колеблются одинаково.