Найдите частоту колебаний тонкого обруча радиуса \(R\), подвешенного на гвозде.
Проскальзывания нет; колебания происходят в плоскости обруча.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Это физический маятник. Плечо тяжести равно \(R\), а момент инерции относительно гвоздя
вдвое больше, чем относительно центра, — по теореме о переносе оси. Двойка и вылезет в
ответ.
Гвоздь — ось качания, центр обруча ниже него на \(R\).
Момент инерции. Относительно центра у тонкого обруча \(I_0 = mR^2\).
Гвоздь отстоит от центра на \(R\), поэтому
\[ I = I_0 + mR^2 = 2mR^2 . \]
Возвращающий момент. Центр масс — в центре обруча, на расстоянии \(R\) от
оси:
Проверка. Обруч качается как математический маятник длины
\(2R\) ✓ — то есть длины собственного диаметра, красивый и легко запоминающийся факт.
Масса сократилась ✓. Для сплошного диска \(I = \frac32 mR^2\) и
\(\omega = \sqrt{2g/(3R)}\) — чуть быстрее ✓, ведь у диска масса ближе к центру. Все
точки обруча, лежащие на расстоянии \(2R\) от гвоздя (то есть диаметрально
противоположная точка), движутся как груз эквивалентного математического маятника ✓ —
это и есть центр качаний.