Задача 3.2.25два тела на пружине
Условие
Два тела массы \(m_1\) и \(m_2\) связаны пружиной жёсткости \(k\). Какова частота свободных колебаний такой системы, если вращения нет?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Центр масс покоится, значит тела движутся навстречу друг другу, и всё определяется
одной величиной — деформацией пружины. Задача сводится к движению одного тела
«приведённой» массы.
Сведение к одному телу. Пусть деформация пружины \(x = x_1+x_2\), где \(x_1,x_2\) — смещения тел навстречу. Из неподвижности центра масс \(m_1x_1 = m_2x_2\), поэтому
\[ x_1 = \frac{m_2}{m_1+m_2}x,\qquad x_2 = \frac{m_1}{m_1+m_2}x . \]Для первого тела \(m_1\ddot x_1 = -kx\), а \(\ddot x_1 = \dfrac{m_2}{m_1+m_2}\ddot x\), значит
\[ \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\,\ddot x = -kx . \]Частота. Введя приведённую массу \(\mu = \dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}\),
\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}},\qquad \mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}. \]Проверка. Если одно тело очень тяжёлое \((m_2\to\infty)\),
то \(\mu\to m_1\) ✓ — получается обычная пружина, закреплённая в стене. При
\(m_1 = m_2 = m\) выходит \(\mu = m/2\) и \(\omega = \sqrt{2k/m}\) ✓ — вдвое больший
квадрат частоты, ведь каждое тело «видит» пружину вдвое короче. Приведённая масса
всегда меньше меньшей из масс ✓, поэтому свободная система колеблется быстрее, чем
та же пружина у стенки ✓.
Ответ
\( \omega = \sqrt{\dfrac k\mu} \), где \( \mu = \dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2} \).