Савченко · Глава 3. Колебания и волны · § 3.2. Период и частота свободных колебаний

Савченко, задача 3.2.26

Условие

Найдите отношение частот колебаний молекулы \(\mathrm{H_2}\) и молекулы \(\mathrm{HD}\) (\(\mathrm D\) — атом дейтерия).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Химическая связь у \(\mathrm{H_2}\) и \(\mathrm{HD}\) одна и та же — она определяется электронами, а не ядрами. Значит «жёсткость пружинки» одинакова, и всё различие сидит в приведённой массе.

Связь одна и та же, различаются только массы ядер.

Приведённые массы. В единицах массы атома водорода

\[ \mu_{\mathrm{H_2}} = \frac{1\cdot1}{1+1} = \frac12,\qquad \mu_{\mathrm{HD}} = \frac{1\cdot2}{1+2} = \frac23 . \]

Отношение частот. Так как \(\omega = \sqrt{k/\mu}\) при одинаковом \(k\),

\[ \frac{\omega_{\mathrm{HD}}}{\omega_{\mathrm{H_2}}} = \sqrt{\frac{\mu_{\mathrm{H_2}}}{\mu_{\mathrm{HD}}}} = \sqrt{\frac{1/2}{2/3}} = \sqrt{\frac34} = \frac{\sqrt3}{2} \approx 0{,}87 . \]

Проверка. Дейтерий тяжелее, поэтому \(\mathrm{HD}\) колеблется медленнее ✓. Если бы заменили оба ядра (\(\mathrm{D_2}\)), приведённая масса выросла бы вдвое и частота упала бы в \(\sqrt2 \approx 1{,}41\) раза ✓; замена одного ядра даёт более скромный множитель \(0{,}87\) ✓. Именно на этом эффекте построена ИК-спектроскопия изотопов: по сдвигу колебательной полосы узнают, какой изотоп сидит в молекуле ✓.

Ответ \( \dfrac{\omega_{\mathrm{HD}}}{\omega_{\mathrm{H_2}}} = \dfrac{\sqrt3}{2} \).

Следующая задача 3.2.27 →