Савченко · Глава 3. Колебания и волны · § 3.2. Период и частота свободных колебаний

Савченко, задача 3.2.27

Задача 3.2.27★ две моды молекулы CO₂

Условие

Возможны два типа линейных колебаний молекулы углекислого газа: а) ядра кислорода движутся в противоположные стороны, а ядро углерода остаётся на месте; б) ядра кислорода движутся с одинаковыми скоростями в направлении, противоположном направлению движения ядра углерода. Определите отношение частот этих колебаний.

К задаче 3.2.27 (рисунок из условия, перерисован)

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея В обеих модах каждый атом кислорода связан со своей «пружинкой» жёсткости \(k\). Вся разница в том, покоится ли центральный атом: если он тоже движется, деформация пружин при том же смещении кислорода больше — и частота выше.

Мода а (симметричная). Углерод неподвижен, каждый кислород — обычный груз на пружине, закреплённой в неподвижной точке:

\[ \omega_1^2 = \frac{k}{m_{\mathrm O}} . \]

Мода б (антисимметричная). Пусть кислороды сместились на \(x\) вправо, а углерод — на \(y\) влево. Центр масс покоится:

\[ 2m_{\mathrm O}x = m_{\mathrm C}y . \]

Деформация каждой связи равна \(x+y\), значит на кислород действует сила \(k(x+y)\):

\[ m_{\mathrm O}\ddot x = -k(x+y) = -k\,x\left(1+\frac{2m_{\mathrm O}}{m_{\mathrm C}}\right), \] \[ \omega_2^2 = \frac{k}{m_{\mathrm O}}\left(1+\frac{2m_{\mathrm O}}{m_{\mathrm C}}\right) = \frac{k}{m_{\mathrm O}}\cdot\frac{m_{\mathrm C}+2m_{\mathrm O}}{m_{\mathrm C}} . \]

Отношение. С \(m_{\mathrm O} = 16\) и \(m_{\mathrm C} = 12\):

\[ \frac{\omega_2^2}{\omega_1^2} = 1 + \frac{2\cdot16}{12} = 1+\frac83 = \frac{11}{3}, \qquad \frac{\omega_2}{\omega_1} = \sqrt{\frac{11}{3}} \approx 1{,}9 . \]

Проверка. Антисимметричная мода всегда быстрее ✓ — при том же смещении кислорода пружины деформированы сильнее. Если бы углерод был бесконечно тяжёлым, обе моды совпали бы ✓ (отношение \(\to1\)). Опыт: у \(\mathrm{CO_2}\) симметричная мода отвечает \(1330\) см\(^{-1}\), антисимметричная — \(2350\) см\(^{-1}\), их отношение \(1{,}77\) ✓ — близко к нашим \(1{,}9\); расхождение объясняется тем, что настоящие связи слегка взаимодействуют между собой.

Ответ \( \dfrac{\omega_2}{\omega_1} = \sqrt{\dfrac{11}{3}} \approx 1{,}9 \).

Следующая задача 3.2.28 →