На гладкой горизонтальной поверхности находится тележка массы \(M\) с установленным
на ней математическим маятником длины \(l\) и массы \(m\). Найдите период колебаний
системы.
К задаче 3.2.28 (рисунок из условия, перерисован)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Подвес не закреплён: он отдаёт назад. От этого относительное смещение шарика и тележки
получается больше, чем смещение одного шарика, — а значит и возвращающая сила больше.
Маятник на подвижной тележке колеблется быстрее, чем на неподвижной опоре. Мы уже
видели это в задаче 3.1.15.
Уравнения. Пусть \(x\) — смещение шарика, \(X\) — тележки, \(\theta\) — угол
нити. Горизонтальные силы — только составляющая натяжения \(mg\theta\), действующая на
шарик назад, а на тележку (через подвес) вперёд:
\[ m\ddot x = -mg\theta,\qquad M\ddot X = +mg\theta,\qquad
\theta = \frac{x-X}{l}. \]
Исключаем \(X\). Из второго уравнения \(\ddot X = \dfrac{m}{M}g\theta\).
Продифференцировав связь дважды, \(l\ddot\theta = \ddot x - \ddot X\):
Проверка. При \(M\to\infty\) тележка неподвижна и
\(T\to2\pi\sqrt{l/g}\) ✓. При любом конечном \(M\) период меньше этого значения
✓ — эффективная длина маятника равна \(l\,M/(M+m)\), она короче \(l\). Крайний случай:
очень лёгкая тележка \((M\to0)\) — тяжёлый шарик почти стоит на месте, а тележка
мечется около него; период стремится к нулю ✓, что и даёт наша формула. Согласуется и
с задачей 3.1.15, где \(m/M = y_0/x_0\) ✓.
Опечатка в задачнике. В ответах напечатано
\(T = 2\pi\sqrt{l(M+m)/(Mg)}\) — период получается больше, чем у маятника на
неподвижной опоре. Это невозможно: подвижная опора подыгрывает маятнику, а не мешает
ему. Видно и по пределу \(M\to0\): печатная формула даёт бесконечно медленные
колебания, хотя из \(M\ddot X = mg\theta\) при \(M\to0\) ускорение тележки, наоборот,
неограниченно растёт. Множители \(M\) и \(M+m\) в ответе переставлены местами.