Четыре одинаковых шарика массы \(m\) каждый, соединённые одинаковыми пружинами жёсткости \(k\), образуют квадрат. Одновременно всем четырём шарикам сообщили одинаковые по модулю скорости, направленные к центру квадрата. Через какое время после этого пружины будут: а) сильнее всего сжаты; б) сильнее всего растянуты?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Геометрия «дыхания». Пусть сторона квадрата \(a\), а каждый шарик сместился к центру по диагонали на \(\delta\). Расстояние от центра до шарика равно \(a/\sqrt2\), поэтому уменьшение стороны
\[ \Delta = \delta\sqrt2 . \]Сила на один шарик. К шарику подходят две пружины, каждая сжата на \(\Delta\) и толкает его наружу вдоль своей стороны с силой \(k\Delta\). Стороны перпендикулярны, поэтому их равнодействующая направлена по диагонали и равна \(k\Delta\sqrt2\):
\[ F = -k\Delta\sqrt2 = -k\,\delta\sqrt2\cdot\sqrt2 = -2k\delta . \]Частота.
\[ \omega = \sqrt{\frac{2k}{m}} \quad\Longrightarrow\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2k}} . \]Моменты времени. Движение началось из положения равновесия — это фаза, в которой смещение равно нулю, а скорость максимальна. Наибольшее сжатие наступит через четверть периода, наибольшее растяжение — через три четверти:
\[ t_{\text{а}} = \frac T4 = \frac\pi2\sqrt{\frac{m}{2k}},\qquad t_{\text{б}} = \frac{3T}{4} = \frac{3\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{2k}}. \]