Момент инерции чашки, подвешенной на проволоке, относительно оси кручения этой
проволоки равен \(I_0\). Период крутильных колебаний системы равен \(T_0\). На чашку
положили груз, и период стал равен \(T\). Каков момент инерции груза относительно той
же оси? Момент сил при закручивании пропорционален углу закручивания.
К задаче 3.2.30 (рисунок из условия, перерисован)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Крутильный маятник устроен как пружинный, только вместо массы — момент инерции, а
вместо жёсткости — крутильная жёсткость проволоки. Проволока не менялась, значит
\(I \propto T^2\).
Период крутильных колебаний. Если момент сил \(\mathcal M = -D\varphi\), то
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac ID}. \]
Два измерения. Крутильная жёсткость \(D\) одна и та же, поэтому
\[ \frac{T^2}{T_0^2} = \frac{I_0+I}{I_0}
\quad\Longrightarrow\quad
I = I_0\left[\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\!2}-1\right]. \]
Проверка. При \(T = T_0\) получается \(I = 0\) ✓. Ответ не
требует знать ни \(D\), ни массу чашки ✓ — именно поэтому так и измеряют моменты
инерции: сначала «тарируют» пустую чашку, потом кладут тело и снова засекают период.
Груз всегда увеличивает период \((T > T_0)\) ✓. Метод очень чувствителен: период
измеряется по сотне колебаний, и точность выходит доли процента ✓.
Ответ
\( I = I_0\left[\left(\dfrac{T}{T_0}\right)^{2}-1\right] \).