Лёгкие стержни соединены шарнирами в виде ромба. Две противоположные вершины ромба связаны пружиной жёсткости \(k\), а к двум другим вершинам прикреплены шарики одинаковой массы \(m\). Найдите частоту колебаний системы, если длина пружины в недеформированном состоянии совпадает с длиной стержня.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Геометрия равновесия. Пусть сторона ромба \(a\), горизонтальная диагональ (пружина) \(p\), вертикальная (с шариками) \(q\). Всегда
\[ \left(\frac p2\right)^{\!2}+\left(\frac q2\right)^{\!2} = a^2 . \]В равновесии пружина не деформирована, то есть \(p = a\). Тогда
\[ \frac q2 = \sqrt{a^2-\frac{a^2}4} = \frac{a\sqrt3}{2}, \qquad q = a\sqrt3 \]— ромб составлен из двух равносторонних треугольников, его углы \(60^\circ\) и \(120^\circ\).
Передаточный коэффициент. Пусть каждый шарик движется со скоростью \(u\) (навстречу друг другу), а каждая вершина с пружиной — со скоростью \(w\) (наружу). Стержень жёсткий, поэтому проекции скоростей его концов на стержень равны. Проекция скорости шарика равна \(u\cdot\dfrac{q/2}{a}\), проекция скорости вершины пружины — \(w\cdot\dfrac{p/2}{a}\):
\[ u\cdot\frac q2 = w\cdot\frac p2 \quad\Longrightarrow\quad w = u\,\frac qp = u\sqrt3 . \]Пружина растягивается с обоих концов, значит скорость её удлинения \(2w = 2\sqrt3u\). Итак, смещению шарика на \(u\) отвечает деформация пружины
\[ \Delta = 2\sqrt3\,u . \]Энергии.
\[ U = \frac{k\Delta^2}{2} = \frac{k\,12u^2}{2} = 6k u^2 = \frac{(12k)u^2}{2},\qquad K = 2\cdot\frac{m\dot u^2}{2} = \frac{(2m)\dot u^2}{2}. \]Получилась обычная пружинная система с жёсткостью \(12k\) и массой \(2m\):
\[ \omega = \sqrt{\frac{12k}{2m}} = \sqrt{\frac{6k}{m}}. \]