К муфте массы \(m\), надетой на гладкую горизонтальную неподвижную спицу, привязана нить, перекинутая через блок, находящийся на расстоянии \(l\) от спицы. На другом конце нити привязан груз массы \(M\). При колебаниях муфты изменением натяжения нити из-за колебаний груза можно пренебречь. Найдите частоту колебаний муфты и частоту колебаний груза.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сила на муфту. Пусть \(x\) — смещение муфты от точки, лежащей прямо под блоком. Нить натянута с силой \(T = Mg\) и составляет с вертикалью такой угол, что её горизонтальная проекция равна
\[ F = -T\,\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}} \approx -\frac{Mg}{l}\,x \qquad (x \ll l). \]Частота муфты. Это закон Гука с \(k = Mg/l\):
\[ \omega_1 = \sqrt{\frac{Mg}{ml}}. \]Что делает груз. Длина нити от муфты до блока равна
\[ \sqrt{l^2+x^2} \approx l + \frac{x^2}{2l}, \]значит груз поднимается на \(x^2/(2l)\). Подставим \(x = x_0\cos\omega_1 t\):
\[ \frac{x^2}{2l} = \frac{x_0^2}{2l}\cos^2\omega_1 t = \frac{x_0^2}{4l}\left(1+\cos 2\omega_1 t\right). \]Груз ходит вверх-вниз с удвоенной частотой:
\[ \omega_2 = 2\omega_1 = 2\sqrt{\frac{Mg}{ml}} . \]