Задача 3.2.11частота бусинки между зарядами
Условие
Найдите частоту малых колебаний системы, описанной в задаче 3.1.10 (бусинка заряда \(q\) и массы \(m\) в центре нити длины \(2L\), на концах которой закреплены заряды \(Q\)).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Жёсткость уже найдена: \(U = kx^2/2\) с \(k = qQ/(\pi\varepsilon_0 L^3)\).
\[ \omega = \sqrt{\frac km} = \sqrt{\frac{qQ}{\pi\varepsilon_0 m L^3}}. \]
Проверка. Частота растёт с зарядами и падает как \(L^{-3/2}\)
✓ — раздвинув заряды вдвое, мы ослабляем «пружину» в восемь раз. При \(qQ < 0\)
подкоренное выражение отрицательно ✓ — колебаний нет, равновесие неустойчиво, как мы и
выяснили раньше. Размерность: \([qQ/(\varepsilon_0 L^3)] = \) Н/м ✓, делённое на массу
даёт с\(^{-2}\) ✓.
Ответ
\( \omega = \sqrt{\dfrac{qQ}{\pi\varepsilon_0 m L^3}} \).