Задача 3.2.10натяжение струны по частоте
Условие
Измерения круговой частоты колебаний тела массы \(m\), закреплённого посередине натянутой струны длины \(2l\), дали значение \(\omega\). Найдите силу натяжения струны.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Жёсткость такой «пружины» мы уже нашли в задаче 3.1.1:
\(k = 2F/l\). Осталось выразить из неё \(F\).
Из \(\omega^2 = k/m\) и \(k = 2F/l\):
\[ \omega^2 = \frac{2F}{ml} \quad\Longrightarrow\quad F = \frac{m\omega^2 l}{2}. \]Проверка. Размерность: \(\mathrm{кг\cdot с^{-2}\cdot м = Н}\)
✓. Чем сильнее натянута струна, тем выше частота ✓ — как у гитары. Числа: при
\(m = 10\) г, \(l = 0{,}3\) м и частоте \(100\) Гц \((\omega = 628\)
с\(^{-1})\) получаем \(F = 0{,}01\cdot628^2\cdot0{,}3/2 \approx 590\) Н ✓ —
правдоподобное натяжение струны. Так и работает измерение натяжения «на слух».
Ответ
\( F = \dfrac{m\omega^2 l}{2} \).