Задача 3.2.9часы на Эвересте
Условие
На сколько отстанут за сутки маятниковые часы, поднятые на высоту Эвереста \((8{,}9\) км\()\)? Останкинской башни \((0{,}5\) км\()\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Наверху \(g\) меньше, маятник качается медленнее, и часы отстают. Относительное
отставание за сутки равно относительному изменению периода.
Изменение \(g\). Вне Земли \(g\propto1/R^2\), поэтому на высоте \(h\ll R\)
\[ \frac{\Delta g}{g} = -\frac{2h}{R}. \]Изменение периода.
\[ \frac{\Delta T}{T} = -\frac12\frac{\Delta g}{g} = \frac hR . \]Отставание за сутки. Часы отстают на ту же долю суток:
\[ \Delta t = t_{\text{сут}}\,\frac hR . \]Для Эвереста
\[ \Delta t_1 = 86\,400\ \text{с}\cdot\frac{8{,}9}{6400} \approx 120\ \text{с} = 2\ \text{мин}, \]для Останкинской башни
\[ \Delta t_2 = 86\,400\ \text{с}\cdot\frac{0{,}5}{6400} \approx 7\ \text{с}. \]Проверка. Ответ линеен по высоте ✓, и вторая цифра получается
из первой делением на \(17{,}8\) ✓. Полезная мнемоника: подъём на \(1\) км даёт
отставание около \(13{,}5\) с в сутки ✓. Заметим, что речь именно о маятниковых часах;
кварцевые или атомные высоту так не чувствуют (у них другой, куда более слабый,
релятивистский эффект — и он, наоборот, заставляет часы наверху спешить) ✓.
Ответ
\( \Delta t_1 \approx 2 \) мин; \( \Delta t_2 \approx 7 \) с.