Задача 3.2.8маятник ищет руду
Условие
Вблизи рудного месторождения период колебаний маятника изменился на \(0{,}1\,\%\). Плотность руды \(8\cdot10^3\) кг/м\(^3\). Оцените размеры месторождения, если средняя плотность Земли \(5{,}6\cdot10^3\) кг/м\(^3\), а её радиус \(6400\) км.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Руда тяжелее окружающих пород, поэтому создаёт добавку к \(g\). Оценим её, считая
месторождение шаром «лишней» плотности \(\Delta\rho\), лежащим у самой поверхности, —
и сравним с полем всей Земли, которая тоже шар.
Связь периода и \(g\). Из \(T\propto1/\sqrt g\)
\[ \frac{\Delta T}{T} = -\frac12\,\frac{\Delta g}{g} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\Delta g}{g} = 2\cdot0{,}001 = 0{,}002 . \]Поле шара. Для однородного шара радиуса \(a\) и плотности \(\rho\) поле у его поверхности
\[ g = \frac{G M}{a^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho\,a \]— пропорционально плотности и радиусу. Применим это дважды: к Земле (\(\rho_З\), \(R\)) и к месторождению (\(\Delta\rho = \rho_{\text{руды}}-\rho_З\), радиус \(r\), маятник стоит прямо над ним):
\[ \frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta\rho\;r}{\rho_З\,R} \quad\Longrightarrow\quad r = R\,\frac{\Delta g}{g}\cdot\frac{\rho_З}{\Delta\rho}. \]Числа. \(\Delta\rho = 8{,}0-5{,}6 = 2{,}4\) (в единицах \(10^3\) кг/м\(^3\)):
\[ r = 6400\ \text{км}\cdot0{,}002\cdot\frac{5{,}6}{2{,}4} \approx 30\ \text{км}. \]Проверка. Оценка грубая — мы считали залежь шаром у самой
поверхности, и это даёт верный порядок ✓. Тридцать километров — это очень крупное
месторождение ✓, что и понятно: \(0{,}1\,\%\) по периоду — это большая гравитационная
аномалия. Реальная гравиразведка ловит аномалии в тысячи раз меньшие, но и приборы там
не маятниковые часы, а гравиметры ✓. Проверим \(\Delta g\): \(0{,}002\cdot9{,}8 =
0{,}02\) м/с\(^2\) ✓ — это \(2\) галла, огромная величина по меркам геофизики.
Ответ
\( r \approx 30 \) км.