а. Математический маятник — железный шарик массы \(m\) на длинной нити —
имеет период \(T_0\). В присутствии магнита, расположенного чуть ниже шарика, период
стал равен \(T\). Определите действующую на шарик магнитную силу.
б. Шарик поместили между полюсами магнита так, что на него действует
горизонтальная магнитная сила. Найдите эту силу и новое положение равновесия,
если период колебаний стал равен \(T\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Постоянная добавочная сила просто складывается с тяжестью в новую «эффективную
тяжесть»: маятник поворачивается к ней и колеблется около нового отвеса с
\(T = 2\pi\sqrt{l/g_{\text{эфф}}}\). Значит по изменению периода можно узнать модуль
эффективного поля, а по его направлению — новое положение равновесия.
Слева магнит тянет шарик вниз, справа — вбок: маятник отклоняется к
новому «отвесу».
а. Магнит снизу. Сила \(F\) добавляется к тяжести:
\[ T_0 = 2\pi\sqrt{\frac lg},\qquad
T = 2\pi\sqrt{\frac{ml}{mg+F}}
\quad\Longrightarrow\quad
\left(\frac{T_0}{T}\right)^{\!2} = \frac{mg+F}{mg}, \]
\[ F = mg\left[\left(\frac{T_0}{T}\right)^{\!2} - 1\right]. \]
б. Магнит сбоку. Теперь силы складываются как векторы:
Проверка. В обоих случаях период уменьшается \((T < T_0)\)
✓ — эффективная тяжесть только растёт. При \(F\to0\) получаем \(T\to T_0\) и
\(\varphi\to0\) ✓. В случае б формулы согласованы:
\(\operatorname{tg}\varphi = F/(mg) = \sqrt{(T_0/T)^4-1}\) ✓. Обратите внимание на
разницу: «снизу» период чувствителен к силе линейно, «сбоку» — квадратично, поэтому
боковой магнит той же силы меняет период гораздо слабее ✓.
Ответа. \( F = mg\left[(T_0/T)^2-1\right] \).
б. \( F = mg\sqrt{(T_0/T)^4-1} \), \( \cos\varphi = (T/T_0)^2 \).