Маятник представляет собой лёгкий и жёсткий стержень длины \(l\) с грузом на конце.
Чтобы сделать период колебаний бо́льшим без чрезмерного увеличения размеров самого
маятника, его ось устанавливают под углом \(\alpha\) к вертикали. Определите период
колебаний.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Груз может двигаться только по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси.
Возвращает его лишь та часть тяжести, которая лежит в этой плоскости, — она равна
\(mg\sin\alpha\). Значит всё как у обычного маятника, но с «ослабленной» тяжестью.
Ось наклонена на \(\alpha\) к вертикали, стержень с грузом вращается
вокруг неё. В плоскости движения работает лишь \(mg\sin\alpha\).
Разложение тяжести. Ось наклонена к вертикали на \(\alpha\). Груз движется по
окружности радиуса \(l\), лежащей в плоскости, перпендикулярной оси. Разложим \(m\vec g\)
на составляющую вдоль оси (её целиком принимает на себя подшипник) и составляющую в
плоскости движения:
\[ g_{\text{эфф}} = g\sin\alpha . \]
Период. Дальше это обычный маятник длины \(l\) в поле \(g\sin\alpha\):
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g\sin\alpha}} . \]
Проверка. При \(\alpha = 90^\circ\) (ось горизонтальна)
получается обычный маятник \(T = 2\pi\sqrt{l/g}\) ✓. При \(\alpha\to0\) ось становится
вертикальной, возвращающей силы нет вовсе, и \(T\to\infty\) ✓ — маятник просто
безразлично поворачивается вокруг вертикали. Именно этим и пользуются: наклонив ось на
\(6^\circ\), период увеличивают втрое, а размеры прибора не меняются ✓. Такой маятник
называют наклонным (или маятником Малле) ✓.
Ответ
\( T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g\sin\alpha}} \).