Вертикальная перегородка в высоком сосуде разделяет его на две сообщающиеся части с разными сечениями. Найдите период малых колебаний жидкости, считая, что свободная поверхность её в каждой части сосуда остаётся горизонтальной. Глубина жидкости в состоянии равновесия равна \(H\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Обозначения. Сечения \(S_1\) и \(S_2\), глубина в обеих частях \(H\). Пусть уровень слева поднялся на \(y_1\), справа опустился на \(y_2\). Объём сохраняется:
\[ S_1 y_1 = S_2 y_2 \equiv V . \]Потенциальная энергия. Всё сводится к переносу объёма \(V\): слой толщины \(y_2\) снят справа (его центр на \(y_2/2\) ниже уровня) и положен слева (центр на \(y_1/2\) выше уровня). Значит его центр масс поднялся на \((y_1+y_2)/2\):
\[ U = \rho V g\,\frac{y_1+y_2}{2} = \frac{\rho g S_1 y_1^2}{2}\left(1+\frac{S_1}{S_2}\right). \]Кинетическая энергия. Жидкость в левой части движется со скоростью \(\dot y_1\), в правой — со скоростью \(\dot y_2 = \frac{S_1}{S_2}\dot y_1\); масс в них \(\rho S_1 H\) и \(\rho S_2 H\):
\[ K = \frac{\rho H}{2}\left(S_1\dot y_1^2 + S_2\dot y_2^2\right) = \frac{\rho H S_1\dot y_1^2}{2}\left(1+\frac{S_1}{S_2}\right). \]Частота. Множитель \(\left(1+\frac{S_1}{S_2}\right)\) и \(S_1\) стоят и там и там — они сокращаются:
\[ \omega^2 = \frac{\rho g S_1(1+S_1/S_2)}{\rho H S_1 (1+S_1/S_2)} = \frac gH, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac Hg}. \]