Задача 3.2.35ареометр
Условие
Определите частоту вертикальных колебаний длинного цилиндрического ареометра, погружённого в жидкость, налитую в цилиндрический стакан, если радиус стакана много меньше глубины \(H\), на которой ареометр находится в состоянии равновесия.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Утопив ареометр на \(x\), мы вытесняем добавочный объём и получаем добавочную
архимедову силу. А масса ареометра сама выражается через глубину погружения — поэтому
в ответе останется только \(H\).
Масса ареометра. В равновесии вес уравновешен архимедовой силой:
\[ m = \rho s H, \]где \(s\) — площадь сечения ареометра, \(\rho\) — плотность жидкости.
Возвращающая сила. При погружении на \(x\) добавляется
\[ F = -\rho g s\,x . \]Частота.
\[ \omega^2 = \frac{\rho g s}{\rho s H} = \frac gH, \qquad \omega = \sqrt{\frac gH}. \]Проверка. Ни плотность, ни сечение не вошли ✓ — ареометр
колеблется как математический маятник длины \(H\). Чем глубже он сидит (то есть чем
легче жидкость), тем медленнее колеблется ✓. Оговорка про узкий стакан нужна затем,
чтобы можно было пренебречь движением самой жидкости: если стакан лишь чуть шире
ареометра, вода вынуждена быстро течь вдоль него, её инерция добавляется и период
растёт ✓. Тот же ответ \(\sqrt{g/H}\) мы получили и в задаче
3.2.34 ✓.
Ответ
\( \omega = \sqrt{\dfrac gH} \).