В цилиндрическом сосуде радиуса \(R\) находится поршень длины \(l\), соединённый
пружиной жёсткости \(k\) со стенкой сосуда. По оси поршня имеется сквозной канал
радиуса \(r\). Всё свободное пространство в сосуде заполнено жидкостью плотности
\(\rho\). Найдите частоту колебаний поршня, если \(l \gg R\) и масса поршня равна
\(m\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Двигаясь, поршень гонит жидкость через узкий канал — и она несётся там во много раз
быстрее самого поршня. Её кинетическая энергия и добавляется к энергии поршня: жидкость
работает как «присоединённая масса».
Поршень длины \(l\) со сквозным каналом радиуса \(r\); жидкость
вынуждена протискиваться сквозь канал.
Скорость жидкости в канале. Поршень идёт со скоростью \(v\) и вытесняет за
секунду объём \(\pi R^2 v\); весь он проходит через канал сечением \(\pi r^2\):
\[ \pi R^2 v = \pi r^2 u
\quad\Longrightarrow\quad
u = v\,\frac{R^2}{r^2}. \]
Кинетическая энергия жидкости. Основная её часть сидит в канале — там
жидкость быстрая, а объём канала \(\pi r^2 l\):
Это в точности энергия тела «присоединённой массы»
\[ m_{\text{присоед}} = \frac{\pi\rho l R^4}{r^2}. \]
Частота. Складываем массы:
\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m + \dfrac{\pi\rho l R^4}{r^2}}}. \]
Проверка. При \(r\to R\) канал становится во всю ширину и
присоединённая масса равна \(\pi\rho l R^2\) — просто массе жидкости в «канале» ✓. При
\(r\to0\) присоединённая масса растёт как \(1/r^2\) и частота падает до нуля ✓ —
поршень с иголочным отверстием практически заперт. Оговорка \(l\gg R\) нужна, чтобы
можно было пренебречь энергией жидкости вне канала (там она движется медленно) ✓.
Зависимость \(R^4\) выглядит неожиданно, но собирается из двух двоек: объём растёт как
\(R^2\)... точнее, скорость в канале растёт как \(R^2\), а энергия — как её квадрат,
делённый на \(r^2\)-множитель ✓.
Ответ
\( \omega = \sqrt{\dfrac{k}{m + \pi\rho l R^4/r^2}} \).