Задача 3.2.37★ масса груза по периоду качки
Условие
После загрузки корабля период колебаний его по вертикали увеличился с \(7\) до \(7{,}5\) с. Какова масса груза? Сечение по ватерлинии \(S = 500\) м\(^2\). Характер вовлечения воды в движение считать не изменившимся при загрузке.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Корабль на воде — пружинный маятник: «жёсткость» задаёт площадь ватерлинии, а масса
берётся из периода. Измерив период дважды, находим массу дважды, и разность — это
масса груза.
Жёсткость. Погрузившись на \(x\), корабль вытесняет добавочный объём \(Sx\), и архимедова сила возрастает на
\[ F = -\rho g S\,x \quad\Longrightarrow\quad k = \rho g S . \]Масса из периода.
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{M}{\rho g S}} \quad\Longrightarrow\quad M = \frac{\rho g S\,T^2}{4\pi^2}. \]Разность. Жёсткость не изменилась, поэтому
\[ m = M_2 - M_1 = \frac{\rho g S}{4\pi^2}\left(T_2^2-T_1^2\right) = \frac{1000\cdot9{,}8\cdot500}{39{,}5}\,(7{,}5^2-7^2). \]Считаем: \(7{,}5^2-7^2 = 56{,}25-49 = 7{,}25\) с\(^2\), а \(\dfrac{4{,}9\cdot10^6}{39{,}5} = 1{,}24\cdot10^5\) кг/с\(^2\):
\[ m \approx 1{,}24\cdot10^5\cdot7{,}25 \approx 9\cdot10^5\ \text{кг} = 900\ \text{т}. \]Проверка. Полезно оценить и саму массу корабля:
\(M_1 = 1{,}24\cdot10^5\cdot49 \approx 6{,}1\cdot10^6\) кг \(= 6100\) т ✓ —
правдоподобно для судна с ватерлинией \(500\) м\(^2\) (средняя осадка вышла бы около
\(12\) м). Груз составил около \(15\,\%\) водоизмещения, а период вырос на \(7\,\%\) ✓ —
как и положено, вдвое слабее, ведь \(T\propto\sqrt M\). Оговорка про «характер
вовлечения воды» нужна затем, чтобы присоединённая масса воды осталась прежней и
выпала из разности ✓.
Ответ
\( m = \dfrac{\rho g S}{4\pi^2}\left(T_2^2-T_1^2\right) \approx 900 \) т.