Задача 3.3.1закон движения и сила
Условие
Тело массы \(m\), прикреплённое к пружине, свободно колеблется. Смещение зависит от времени по закону \(x = A\cos\omega t\). Как меняются со временем скорость и ускорение? Как зависит сила от смещения и от времени? Чему равна жёсткость пружины?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Скорость и ускорение — это те же гармонические колебания, только сдвинутые по фазе и
умноженные на \(\omega\). Проще всего увидеть это из «тени вращения»: проекция
равномерно вращающегося вектора, его скорости и ускорения — три колебания одной
частоты, повёрнутые друг относительно друга на \(90^\circ\).
Скорость и ускорение. Для \(x = A\cos\omega t\)
\[ v = -A\omega\sin\omega t,\qquad a = -A\omega^2\cos\omega t = -\omega^2 x . \]Скорость опережает смещение на четверть периода, ускорение — на половину: оно всегда направлено против смещения.
Сила. По второму закону Ньютона
\[ F = ma = -m\omega^2 x = -Am\omega^2\cos\omega t . \]Жёсткость. Сравнивая с \(F = -kx\),
\[ k = m\omega^2 . \]Проверка. Из \(k = m\omega^2\) сразу следует
\(\omega = \sqrt{k/m}\) ✓. Амплитуды связаны цепочкой \(A,\ A\omega,\ A\omega^2\) ✓ —
полезно помнить, что каждое дифференцирование добавляет множитель \(\omega\) и сдвиг на
четверть периода. В крайних точках \((x = \pm A)\) скорость нулевая, а ускорение
максимально ✓; в положении равновесия наоборот ✓. Энергия:
\(\frac{mv^2}{2}+\frac{kx^2}{2} = \frac{kA^2}{2}\) при любом \(t\) ✓ — подставьте и
убедитесь, что синусы и косинусы складываются в единицу.
Ответ
\( v = -A\omega\sin\omega t \), \( a = -A\omega^2\cos\omega t \),
\( F = -m\omega^2 x = -Am\omega^2\cos\omega t \), \( k = m\omega^2 \).