Задача 3.3.2закон движения маятника
Условие
Амплитуда колебаний математического маятника \(5\) мм, длина его нити \(1\) м. Как зависит смещение шарика от времени? За начало отсчёта времени принять: а) момент прохождения положения равновесия слева направо; б) момент прохождения крайнего правого положения.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Частота одна и та же, различается только начальная фаза: если отсчёт начат из
положения равновесия — синус, если из крайней точки — косинус.
Частота.
\[ \omega = \sqrt{\frac gl} = \sqrt{\frac{9{,}8}{1}} \approx 3{,}13\ \text{с}^{-1}. \]а. Старт из положения равновесия (движение вправо, то есть в сторону положительных \(x\)):
\[ x = 5\sin(3{,}13\,t)\ \text{мм}. \]б. Старт из крайнего правого положения:
\[ x = 5\cos(3{,}13\,t)\ \text{мм}. \](смещение в миллиметрах, время в секундах).
Проверка. Оба закона описывают одно и то же движение,
сдвинутое во времени на четверть периода ✓: \(\cos\omega t = \sin(\omega t + \pi/2)\).
Период \(T = 2\pi/\omega \approx 2{,}0\) с ✓ — знакомая величина для метрового
маятника. Амплитуда \(5\) мм при длине \(1\) м даёт угол \(0{,}005\) рад ✓ — колебания
заведомо малые, приближение работает с огромным запасом. Максимальная скорость
\(A\omega \approx 16\) мм/с ✓.
Ответ
а. \( x = 5\sin(3{,}13\,t) \) мм. б. \( x = 5\cos(3{,}13\,t) \) мм.