Задача 3.3.3период по двум точкам
Условие
Груз, свободно колеблющийся на пружине, за время \(0{,}01\) с сместился с расстояния \(0{,}5\) см от положения равновесия до наибольшего, равного \(1\) см. Каков период его колебаний?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Отсчитаем время от крайней точки: тогда \(x = A\cos\omega t\), и точке \(x = A/2\)
отвечает вполне определённая фаза — треть прямого угла... точнее,
\(\omega t = \pi/3\). Значит заданные \(0{,}01\) с — это ровно шестая часть
полупериода.
Фаза. Пусть \(x = A\cos\omega t\), где \(t\) отсчитывается от момента прохождения крайней точки. Тогда \(x = A/2\) при
\[ \cos\omega t = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad \omega t = \frac\pi3 . \]По условию \(A = 1\) см, а стартовое положение \(0{,}5\) см \(= A/2\). Значит путь от \(A/2\) до \(A\) занимает как раз время, отвечающее изменению фазы на \(\pi/3\):
\[ \omega\cdot0{,}01 = \frac\pi3 . \]Период.
\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi\cdot0{,}01\cdot3}{\pi} = 0{,}06\ \text{с}. \]Проверка. Заметим изящество: \(0{,}01\) с — это \(T/6\) ✓, а
фаза \(\pi/3\) — шестая часть \(2\pi\) ✓. Проверим иначе: за четверть периода
\((0{,}015\) с\()\) груз проходит от равновесия до края ✓, и на последнюю «половинку
амплитуды» уходит две трети этого времени ✓ — движение у края замедляется, и это
согласуется с тем, что там скорость обращается в нуль.
Ответ
\( T = 0{,}06 \) с.