Задача 3.3.4когда энергия убывает вдвое
Условие
Частота свободных колебаний тела равна \(\omega\). Через какое наименьшее время его кинетическая энергия уменьшается вдвое по сравнению со своим наибольшим значением?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Кинетическая энергия пропорциональна \(\cos^2\), а «вдвое меньше» для квадрата
означает \(\cos = 1/\sqrt2\) — то есть фазу \(45^\circ\). Восьмая часть периода.
Отсчёт от максимума. Кинетическая энергия наибольшая в положении равновесия; отсчитаем время от этого момента:
\[ v = v_0\cos\omega t \quad\Longrightarrow\quad E_{\text{к}} = \frac{mv_0^2}{2}\cos^2\omega t . \]Условие.
\[ \cos^2\omega t = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad \omega t = \frac\pi4 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\pi}{4\omega} = \frac T8 . \]Проверка. Восьмая часть периода ✓ — в этот момент тело
находится в точке \(x = A/\sqrt2\), где кинетическая и потенциальная энергии в точности
равны ✓, каждая по половине полной. Красивый ориентир: «половина энергии — на
\(0{,}71\) амплитуды» ✓. Заметим, что энергия колеблется с удвоенной частотой
\((\cos^2\omega t = \frac12(1+\cos2\omega t))\) ✓, поэтому её период равен \(T/2\), а
искомое время — четверть уже этого периода ✓.
Ответ
\( t = \dfrac{\pi}{4\omega} = \dfrac T8 \).