Найдите период колебаний математического маятника длины \(l\), если на пути нити на
расстоянии \(l/2\) вниз по вертикали от точки подвеса вбит гвоздь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Полпериода маятник качается как обычный, длины \(l\), а вторую половину — вокруг
гвоздя, как маятник длины \(l/2\). Складываем два полупериода.
Влево нить свободна на всю длину, вправо она перегибается через гвоздь и
работает лишь её половина.
Две половины качания. Пока маятник отклонён в ту сторону, где нить свободна,
он качается с периодом \(T_1 = 2\pi\sqrt{l/g}\). Перейдя через вертикаль, нить ложится
на гвоздь, и дальше маятник качается вокруг гвоздя с периодом
\(T_2 = 2\pi\sqrt{l/(2g)}\).
Проверка. Если гвоздь убрать, обе половины станут одинаковыми
и получится \(T = 2\pi\sqrt{l/g}\) ✓. Если вбить гвоздь у самого груза, вторая половина
почти исчезнет и \(T\to\pi\sqrt{l/g}\) — ровно половина обычного периода ✓. Числовой
множитель \(1+1/\sqrt2 = 1{,}71\) вместо \(2\) ✓ — период сократился примерно на
\(15\,\%\). Важно, что амплитуды по разные стороны разные (справа маятник поднимается
выше), но на период это не влияет ✓ — период не зависит от амплитуды.
Ответ
\( T = \pi\sqrt{\dfrac lg}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt2}\right) \).