Задача 3.3.6период в несимметричном жёлобе
Условие
Найдите период колебаний тела в задаче 3.1.7 (жёлоб, слева выгнутый по радиусу \(r\), справа — по радиусу \(R\)).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Каждую половину колебания тело проходит по своей дуге и ведёт себя как маятник
соответствующей длины. Периоды не зависят от амплитуды, поэтому полупериоды просто
складываются.
Складываем полупериоды. В левой половине тело — маятник длины \(r\), в правой — длины \(R\):
\[ T = \frac{2\pi}{2}\sqrt{\frac rg} + \frac{2\pi}{2}\sqrt{\frac Rg} = \pi\left(\sqrt{\frac Rg}+\sqrt{\frac rg}\right). \]Проверка. При \(r = R\) получается \(2\pi\sqrt{R/g}\) ✓.
Ответ не зависит от того, с какой амплитудой запустили тело ✓ — и это ключевое
свойство, позволившее сложить полупериоды. Заметим, что движение здесь не
гармоническое: график \(x(t)\) склеен из двух синусоид с разными частотами ✓, но
периодичность от этого не страдает. Совпадает с тем, что мы отметили в проверке задачи
3.1.7 ✓.
Ответ
\( T = \pi\left(\sqrt{\dfrac Rg}+\sqrt{\dfrac rg}\right) \).