Гладкую однородную верёвку длины \(l\) удерживают в вертикальном колене изогнутой трубы так, что нижний конец её касается горизонтальной части трубы. Верёвку отпускают. Через какое время она полностью окажется в горизонтальном колене? Трением пренебречь. Как изменится это время, если вначале часть верёвки уже находилась в горизонтальном колене?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Уравнение движения. Пусть \(\lambda = m/l\) — погонная масса, \(x\) — длина части, оставшейся в вертикальном колене. Тянет вниз только её вес:
\[ m\,\dot v = \lambda x g \quad\Longrightarrow\quad l\,\ddot x = -g\,x \](знак минус потому, что \(x\) убывает: \(v = -\dot x\)). Это в точности уравнение гармонических колебаний
\[ \ddot x = -\frac gl\,x,\qquad \omega = \sqrt{\frac gl}. \]Время. Верёвка стартует из покоя при \(x = l\) — это крайняя точка «колебания». Полностью перейти в горизонтальное колено значит достичь \(x = 0\) — положения равновесия. От крайней точки до положения равновесия проходит четверть периода:
\[ t = \frac T4 = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac lg}. \]Если часть уже лежала в горизонтальном колене. Тогда старт из покоя при \(x = x_0 < l\) — но это по-прежнему крайняя точка того же самого колебания (частота-то от амплитуды не зависит!), и до \(x = 0\) снова ровно четверть периода:
\[ t = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac lg}\ \ \text{— не изменится}. \]