Воздушный шарик при слабом ударе о стенку деформируется, как показано на рисунке.
Максимальная деформация \(x\) много меньше радиуса \(R\). Пренебрегая изменением
избыточного давления \(\Delta p\) воздуха в шарике и упругостью оболочки, оцените время
соударения со стенкой. Масса шарика \(m\).
К задаче 3.3.8 (рисунок из условия, перерисован). Шарик радиуса R сплющен о стенку; x — глубина деформации, штриховая линия — недеформированный контур.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Сила, с которой стенка давит на шарик, — это избыточное давление, умноженное на площадь
пятна контакта. А площадь пятна при малой деформации растёт пропорционально самой
деформации. Значит сила линейна по \(x\) — перед нами обычная пружина, и удар длится
ровно полпериода.
Шарик прижат к стенке; пятно контакта — круг радиуса \(a\), причём
\(a^2 = 2Rx\) при малой деформации.
Размер пятна. Шар радиуса \(R\), вдавленный на глубину \(x\), касается стенки
по кругу радиуса \(a\). По теореме Пифагора для центра шара
Проверка. Время не зависит от скорости удара ✓ — типичное
свойство линейной «пружины»; именно поэтому условие «слабый удар» нужно лишь затем,
чтобы деформация осталась малой. Чем сильнее надут шарик (больше \(\Delta p\)), тем
жёстче он и тем короче удар ✓. Числа: \(m = 3\) г, \(R = 15\) см,
\(\Delta p = 3\) кПа дают \(t \approx \pi\sqrt{0{,}003/(2\pi\cdot0{,}15\cdot3000)}
\approx 6\) мс ✓ — правдоподобно для мягкого шарика. Размерность:
\([\Delta p\,R] = \) Н/м ✓ — действительно жёсткость.
Ответ
\( t = \pi\sqrt{\dfrac{m}{2\pi R\,\Delta p}} \).