Докажите, что пучок частиц будет собираться (фокусироваться) в некоторых определённых точках оси \(OO'\), если скорость каждой частицы пучка в сечении \(OO''\) равна \(v_0\), а сила, действующая на частицу, \(F = -kr\), где \(r\) — расстояние от частицы до оси пучка. На каком расстоянии от сечения \(OO''\) фокусируются частицы, если масса каждой равна \(m\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Разделяем движения. Вдоль оси силы нет, поэтому продольная скорость постоянна и равна \(v_0\) (по условию вся скорость в сечении \(OO''\) направлена вдоль оси). Поперёк действует \(F = -kr\), то есть
\[ \ddot r = -\frac km\,r,\qquad \omega = \sqrt{\frac km}. \]Почему получается фокус. В сечении \(OO''\) у каждой частицы поперечная скорость равна нулю, а поперечное смещение \(r_0\) своё. Значит
\[ r(t) = r_0\cos\omega t \]— и обращается в нуль в моменты \(\omega t = \frac\pi2 + \pi n\), одинаковые для всех частиц: частота от \(r_0\) не зависит. Все частицы сходятся на ось одновременно.
Где именно. За это время частица пролетает вдоль оси
\[ l = v_0 t = \frac{v_0}{\omega}\left(\frac\pi2+\pi n\right) = \pi\left(n+\frac12\right)v_0\sqrt{\frac mk}, \qquad n = 0,1,2,\dots \]