Из нижней точки гладкого горизонтального цилиндрического жёлоба радиуса \(R\) под
небольшим углом к его образующей выскальзывает со скоростью \(v_0\) маленький шарик.
Сколько раз на длине \(l\) он пересечёт нижнюю образующую жёлоба?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Движение вдоль жёлоба равномерное, поперёк — гармоническое с частотой
\(\sqrt{g/R}\). Значит траектория — «синусоида», намотанная на жёлоб, и она пересекает
дно через равные промежутки длины.
Развёртка жёлоба: шарик идёт по «синусоиде» и пересекает нижнюю
образующую через равные промежутки.
Два движения. Вдоль образующей на шарик ничего не действует — он летит
равномерно со скоростью \(v_0\) (угол мал, так что почти вся скорость продольная).
Поперёк жёлоб работает как маятник длины \(R\):
\[ \omega = \sqrt{\frac gR}. \]
Промежуток между пересечениями. Поперечная координата обращается в нуль через
каждые полпериода, а за это время шарик пролетает вдоль
\[ N = \left[\frac{l}{d}\right] = \left[\frac{l}{\pi v_0}\sqrt{\frac gR}\right] \]
— целая часть этого выражения.
Проверка. Чем быстрее шарик, тем реже пересечения ✓ — он
успевает улететь дальше за то же время. Чем шире жёлоб \((R\) больше\()\), тем
«медленнее» поперечные колебания и тем реже пересечения ✓. Начальный угол в ответ не
входит ✓ — от него зависит лишь амплитуда «синусоиды», а не её период; это опять
изохронность. Ровно та же математика, что и в предыдущей задаче о фокусировке пучка ✓ —
только там сила была упругая, а здесь её роль играет тяжесть.
Ответ
\( N = \left[\dfrac{l}{\pi v_0}\sqrt{\dfrac gR}\right] \) — целая часть.