К наклонной стене подвешен маятник длины \(l\). Маятник отклонили от вертикали на
малый угол, в два раза превышающий угол наклона стены к вертикали, и отпустили. Найдите
период колебаний маятника, если удары о стену абсолютно упругие.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Между ударами маятник качается как обычный, с амплитудой \(2\beta\). Стена обрезает
качание на угле \(\beta\) — то есть на половине амплитуды. А момент, когда гармоническое
колебание проходит половину амплитуды, известен: это фаза \(60^\circ\).
Свободный размах — \(2\beta\), но стена стоит под углом \(\beta\) и
обрывает качание на половине амплитуды.
Свободный участок. Пусть стена наклонена к вертикали на \(\beta\), а маятник
отпущен с угла \(2\beta\) в противоположную сторону. Между ударами
Момент удара. Маятник встречает стену при \(\theta = -\beta\):
\[ 2\beta\cos\omega t = -\beta
\quad\Longrightarrow\quad
\cos\omega t = -\frac12
\quad\Longrightarrow\quad
\omega t = \frac{2\pi}{3}. \]
Период. Удар абсолютно упругий, значит скорость просто меняет знак и маятник
проходит тот же путь обратно за то же время:
\[ T = 2\cdot\frac{2\pi}{3\omega} = \frac{4\pi}{3}\sqrt{\frac lg}. \]
Проверка. Если бы стены не было, период равнялся бы
\(2\pi\sqrt{l/g}\) ✓ — наш ответ ровно в \(3/2\) раза меньше, и это разумно: стена
«съела» треть свободного качания. Проверим предельные случаи: если стену поставить
вертикально \((\beta = 0)\), маятник будет ударяться в нижней точке, свободный участок
станет четвертью периода и \(T = \pi\sqrt{l/g}\) ✓ — вдвое меньше свободного; наша
формула при \(\beta\to0\) этого не даёт лишь потому, что там уже другое условие
(амплитуда тоже стремится к нулю). Ответ не зависит ни от \(\beta\), ни от массы ✓ —
работает только отношение «амплитуда к углу стены», равное двум.