Один конец пружины прикреплён к стене, на втором — шарик, колеблющийся с амплитудой
\(A\) и периодом \(T_0\). На каком расстоянии от положения равновесия шарика нужно
поставить плиту, чтобы период его колебаний стал равным \(T\)? Удары шарика о плиту
абсолютно упругие.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Та же схема, что и с наклонной стеной: плита обрезает колебание на некотором смещении,
и период равен удвоенному времени свободного участка. Надо лишь выразить это смещение
через нужную фазу.
Плита стоит на расстоянии \(l\) от положения равновесия и обрывает
колебание.
Свободный участок. Пусть \(x = A\cos\omega_0 t\), отсчёт от дальней крайней
точки \((\omega_0 = 2\pi/T_0)\). Шарик доходит до плиты, стоящей на расстоянии \(l\) по
другую сторону от равновесия, то есть при \(x = -l\):
\[ \cos\omega_0 t = -\frac lA . \]
Период. Удар упругий, поэтому \(T = 2t\):
\[ \omega_0 t = \frac{\omega_0 T}{2} = \frac{2\pi}{T_0}\cdot\frac T2 = \frac{\pi T}{T_0}, \]
\[ -\frac lA = \cos\frac{\pi T}{T_0}
\quad\Longrightarrow\quad
l = -A\cos\frac{\pi T}{T_0}
= A\cos\left[\pi\left(1-\frac{T}{T_0}\right)\right]. \]
Проверка. При \(T = T_0\) получаем \(l = A\cos0 = A\) ✓ —
плита стоит ровно в крайней точке и ничего не меняет. При \(T = T_0/2\) выходит
\(l = A\cos(\pi/2) = 0\) ✓ — плита в положении равновесия обрезает ровно половину
колебания. Формула имеет смысл при \(T_0/2 \le T \le T_0\) ✓: сделать период больше
свободного плитой нельзя. Задача — близкий родственник предыдущей ✓, только там роль
плиты играла стена, а «амплитуда/расстояние» было равно двум.
Ответ
\( l = A\cos\left[\pi\left(1-\dfrac{T}{T_0}\right)\right] \).