Груз массы \(m\) падает с высоты \(H\) на пружину жёсткости \(k\) и длины \(h\), нижний конец которой прикреплён к полу. Определите время контакта груза с пружиной, если \(mg < 2k(H-h)\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Скорость в момент касания. Груз пролетает свободно \(H-h\):
\[ v_0 = \sqrt{2g(H-h)} . \]Колебания на пружине. Частота \(\omega = \sqrt{k/m}\), положение равновесия на \(mg/k\) ниже верхнего конца пружины. Отсчитаем \(y\) от равновесия вниз: в момент касания \(y = -mg/k\), скорость \(v_0\) вниз. Амплитуда
\[ a = \sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^{\!2}+\frac{v_0^2}{\omega^2}} . \]Доля периода. Запишем \(y = a\sin\psi\), где \(\psi = \omega t + \psi_0\). Контакт начинается при \(\sin\psi_0 = -\dfrac{mg/k}{a}\) и движении вниз, кончается — при том же \(\sin\psi\), но при движении вверх. Разность фаз
\[ \Delta\psi = \pi + 2\arcsin\frac{mg/k}{a} = \pi + 2\operatorname{arctg}\frac{mg/k}{v_0/\omega}. \]Отношение под арктангенсом считается легко:
\[ \frac{mg/k}{v_0/\omega} = \frac{mg/k}{\sqrt{2g(H-h)}\sqrt{m/k}} = \sqrt{\frac{mg}{2k(H-h)}} . \]Время.
\[ t = \frac{\Delta\psi}{\omega} = \left[\pi + 2\operatorname{arctg}\sqrt{\frac{mg}{2k(H-h)}}\,\right]\sqrt{\frac mk}. \]