По гладкой горизонтальной плоскости со скоростью \(v\) скользит тонкий однородный брусок длины \(l\). Брусок наезжает на обширный шероховатый участок плоскости. Через какое время брусок остановится, если коэффициент трения равен \(\mu\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пока брусок заезжает. Пусть \(x\) — длина части, оказавшейся на шероховатом участке. Нормальная нагрузка этой части равна \(mg\,x/l\), поэтому
\[ m\ddot x = -\mu mg\,\frac xl \quad\Longrightarrow\quad \ddot x = -\frac{\mu g}{l}x,\qquad \omega = \sqrt{\frac{\mu g}{l}} . \]Старт: \(x = 0\), \(\dot x = v\), значит
\[ x(t) = \frac{v}{\omega}\sin\omega t . \]Случай медленного бруска \(\left(v \le \omega l = \sqrt{\mu g l}\right)\). Тогда \(x\) не успевает дорасти до \(l\): брусок останавливается в момент, когда \(\dot x = 0\), то есть через четверть периода:
\[ t = \frac{\pi}{2\omega} = \frac\pi2\sqrt{\frac{l}{\mu g}} . \]Случай быстрого бруска \(\left(v > \sqrt{\mu gl}\right)\). Брусок успевает заехать целиком. Скорость в этот момент найдём из энергии (работа трения при заезде равна \(\mu mgl/2\)):
\[ v' = \sqrt{v^2-\mu g l}. \]Время заезда — из \(\dfrac{v}{\omega}\sin\omega t_1 = l\), то есть \(\sin\omega t_1 = \dfrac{\omega l}{v} = \dfrac{\sqrt{\mu g l}}{v}\), что то же самое, что \(\cos\omega t_1 = v'/v\):
\[ t_1 = \sqrt{\frac{l}{\mu g}}\arccos\frac{v'}{v}. \]Дальше брусок целиком на шероховатом участке и тормозит равнозамедленно:
\[ t_2 = \frac{v'}{\mu g},\qquad t = \frac{v'}{\mu g} + \sqrt{\frac{l}{\mu g}}\arccos\frac{v'}{v}. \]