Стрелок пытается попасть в диск радиуса \(R\), который колеблется гармонически так быстро, что стрелок не может за ним уследить. Тогда он целится в центр области движения диска. С какой вероятностью стрелок попадёт в диск, если амплитуда колебаний диска \(A \gg R\)? Если \(A = 2R\)? Увеличится ли вероятность попадания, если целиться в точку на расстоянии \(R\) от края области?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Плотность вероятности. Доля времени, проводимая на участке \(dx\), обратно пропорциональна скорости \(v(x) = \omega\sqrt{A^2-x^2}\). Нормируя на полупериод,
\[ p(x) = \frac{1}{\pi\sqrt{A^2-x^2}},\qquad -A < x < A. \]Прицел в центр. Пуля попадает в диск, если центр диска в этот момент отстоит от точки прицеливания меньше чем на \(R\):
\[ w = \int_{-R}^{R}\frac{dx}{\pi\sqrt{A^2-x^2}} = \frac2\pi\arcsin\frac RA . \]Два случая. При \(A \gg R\) арксинус можно заменить аргументом:
\[ w \approx \frac{2R}{\pi A}. \]При \(A = 2R\)
\[ w = \frac2\pi\arcsin\frac12 = \frac2\pi\cdot\frac\pi6 = \frac13 . \]Прицел у края. Плотность \(p(x)\) максимальна у краёв — там диск «зависает». Значит, целясь в точку на расстоянии \(R\) от края области, стрелок захватывает как раз самый «густой» участок, и вероятность увеличится. Например, при \(A = 2R\) прицел в точку \(x = A-R = R\) даёт
\[ w' = \int_{0}^{2R}\frac{dx}{\pi\sqrt{4R^2-x^2}} = \frac1\pi\arcsin 1 = \frac12 > \frac13\ ✓ \]