К одному концу первоначально недеформированной и неподвижной пружины жёсткости \(k\) прикреплён груз массы \(m\). Свободный конец пружины стали тянуть с постоянной скоростью, пока он не переместился на расстояние \(d\). Затем его резко остановили. При какой скорости этого конца груз после остановки не будет колебаться? Сформулируйте аналогичную задачу для математического маятника.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В системе конца пружины. Пусть конец движется со скоростью \(u\), тогда мгновенное положение равновесия груза тоже едет со скоростью \(u\). Введём \(y = x - ut\) — смещение груза относительно этого «бегущего равновесия». Уравнение получается обычным:
\[ m\ddot y = -k y,\qquad \omega = \sqrt{\frac km}. \]В начальный момент груз стоит на месте и пружина не деформирована, значит \(y(0) = 0\), \(\dot y(0) = -u\):
\[ y = -\frac u\omega\sin\omega t . \]Условие «не колебаться». Скорость груза в лабораторной системе \(\dot x = \dot y + u = u(1-\cos\omega t)\). Чтобы после мгновенной остановки конца груз замер, нужно \(\dot x = 0\), то есть
\[ \cos\omega\tau = 1 \quad\Longrightarrow\quad \omega\tau = 2\pi n . \]При этом автоматически \(y = 0\), то есть груз стоит точно в новом положении равновесия ✓ — колебаться ему нечем и незачем.
Скорость. Конец шёл время \(\tau = d/u\), поэтому
\[ \omega\,\frac du = 2\pi n \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{d}{2\pi n}\sqrt{\frac km},\qquad n = 1,2,\dots \]Аналог для маятника. Точку подвеса математического маятника длины \(l\) начали двигать горизонтально с постоянной скоростью и, сдвинув на \(d\), резко остановили. При каких скоростях маятник после этого не будет качаться? Ответ той же формы: \(u = \dfrac{d}{2\pi n}\sqrt{\dfrac gl}\).