Задача 3.3.17два маятника с задержкой
Условие
Два одинаковых маятника имеют общую точку подвеса. Одному маятнику толчком сообщили некоторую скорость, затем через время \(\tau\) другому маятнику тоже толчком сообщили такую же скорость. Через какое время после начала движения первого маятника оба маятника встретятся, если период их колебаний равен \(T\) и \(\tau < T/2\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Оба маятника колеблются одинаково, только второй отстаёт по времени на \(\tau\).
Одинаковые синусоиды со сдвигом пересекаются посередине между своими максимумами —
остаётся выписать это.
Законы движения. Оба стартуют из положения равновесия:
\[ x_1 = a\sin\omega t,\qquad x_2 = a\sin\omega(t-\tau),\qquad \omega = \frac{2\pi}{T}. \]Встреча. Приравниваем и пользуемся тем, что синусы равны, когда их аргументы дополняют друг друга до \(\pi\):
\[ \omega t = \pi - \omega(t-\tau) \quad\Longrightarrow\quad 2\omega t = \pi + \omega\tau, \] \[ t = \frac{\pi}{2\omega}+\frac\tau2 = \frac T4 + \frac\tau2 . \]Проверка. При \(\tau = 0\) маятники движутся одинаково и
«встречаются» сразу ✓ — формула даёт \(T/4\), момент, когда оба в крайней точке; на
самом деле они не расстаются вовсе, и \(T/4\) тоже подходит ✓. Ответ — это ровно
середина между максимумами первого \((T/4)\) и второго \((T/4+\tau)\) ✓, что и понятно
по симметрии. Условие \(\tau < T/2\) гарантирует, что первая встреча происходит
именно на первом качании ✓. Скорости в момент встречи равны по модулю и противоположны
по знаку ✓ — маятники идут навстречу.
Ответ
\( t = \dfrac T4+\dfrac\tau2 \).