Тело массы \(m\), подвешенное на пружине жёсткости \(k\), лежит на подставке.
Подставку мгновенно убирают. Опишите движение тела, если первоначально пружина:
а) не деформирована; б) сжата и её деформация равна \(l\).
К задаче 3.3.18 (рисунок из условия, перерисован)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Тело стартует из покоя, значит стартовая точка — это крайняя точка будущих колебаний, а
амплитуда равна расстоянию от неё до положения равновесия. Всё остальное — стандартный
косинус.
Положение равновесия. Оно находится там, где пружина растянута на
\(mg/k\).
а. Пружина не деформирована. Тело стартует на \(mg/k\) выше равновесия, из
покоя. Значит амплитуда \(A = mg/k\), и, направив ось \(x\) вертикально вверх с началом
в начальном положении,
\[ x = \frac{mg}{k}\left(\cos\omega t - 1\right),\qquad
\omega = \sqrt{\frac km}. \]
Тело опускается, доходит до \(-2mg/k\) и возвращается.
б. Пружина сжата на \(l\). Теперь тело ещё на \(l\) выше, то есть на
\(mg/k + l\) выше равновесия:
\[ x = \left(\frac{mg}{k}+l\right)\left(\cos\omega t - 1\right). \]
Проверка. В обоих случаях в начальный момент \(x = 0\) и
скорость нулевая ✓. Максимальное опускание вдвое больше статической просадки ✓ — это
знакомый факт: если груз «уронить» на пружину без начальной скорости, она растянется
вдвое сильнее, чем при медленном опускании. Максимальная скорость \(A\omega\) ✓, а
максимальная сила пружины \(2mg\) в случае а ✓ — вдвое больше веса. Частота от
начальной деформации не зависит ✓, меняется только амплитуда.
Ответа. \( x = \dfrac{mg}{k}(\cos\omega t-1) \).
б. \( x = \left(\dfrac{mg}{k}+l\right)(\cos\omega t-1) \); ось \(x\) направлена
вверх, начало — в начальном положении, \( \omega=\sqrt{k/m} \).