Пуля массы \(m\), летящая со скоростью \(v\), попадает в тело массы \(M\), связанное
со стенкой пружиной жёсткости \(k\), и застревает в нём. Выбрав момент попадания за
начало отсчёта времени, найдите зависимость скорости и координаты тела от времени.
К задаче 3.3.19 (рисунок из условия, перерисован)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Удар мгновенный, пружина за это время не успевает деформироваться — значит работает
только закон сохранения импульса. А сразу после удара начинаются обычные колебания,
начатые из положения равновесия с найденной скоростью.
Скорость сразу после удара. Пуля застревает, импульс сохраняется:
\[ mv = (M+m)u \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{mv}{M+m}. \]
Частота. Колеблется тело вместе с застрявшей пулей:
\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{M+m}} . \]
Движение. В момент \(t = 0\) координата нулевая (пружина не деформирована), а
скорость равна \(u\) — это старт из положения равновесия:
\[ v(t) = u\cos\omega t = \frac{mv}{M+m}\cos\sqrt{\frac{k}{M+m}}\;t, \]
\[ x(t) = \frac u\omega\sin\omega t
= \frac{mv}{\sqrt{k(M+m)}}\,\sin\sqrt{\frac{k}{M+m}}\;t . \]
Проверка. Амплитуда \(A = u/\omega = mv/\sqrt{k(M+m)}\) ✓;
её же даёт закон сохранения энергии \(\frac{(M+m)u^2}{2} = \frac{kA^2}{2}\) ✓. При
\(m\ll M\) получаем \(A \approx mv/\sqrt{kM}\) ✓ — лёгкая пуля раскачивает тело слабо.
Заметим, что энергия при ударе теряется: осталась доля \(m/(M+m)\) от начальной ✓ —
неупругий удар, и это нормально. Размерность \(mv/\sqrt{kM}\): \(\text{кг}\cdot\text{м/с}
\big/\sqrt{\text{Н/м}\cdot\text{кг}} = \text{м}\) ✓.
Ответ
\( v = \dfrac{mv}{M+m}\cos\omega t \), \( x = \dfrac{mv}{\sqrt{k(M+m)}}\sin\omega t \),
где \( \omega = \sqrt{\dfrac{k}{M+m}} \).