Задача 3.3.21★ толчок одному из двух тел
Условие
Тела массы \(m_1\) и \(m_2\) связаны первоначально недеформированной пружиной. Телу массы \(m_1\) сообщают ударом скорость \(v\), направленную вдоль пружины. Как с течением времени станут меняться скорости этих тел, если частота свободных колебаний равна \(\omega\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Разложим движение на два простых: равномерное движение центра масс плюс колебание
относительной координаты. Первое даёт постоянную добавку к обеим скоростям, второе —
гармоническую.
Центр масс. Он движется равномерно со скоростью
\[ V = \frac{m_1 v}{m_1+m_2}. \]Относительное движение. В момент удара пружина не деформирована, а относительная скорость равна \(v\). Значит относительная скорость меняется как
\[ v_{\text{отн}} = v_1 - v_2 = v\cos\omega t . \]Собираем. Скорости выражаются через \(V\) и \(v_{\text{отн}}\):
\[ v_1 = V + \frac{m_2}{m_1+m_2}v_{\text{отн}},\qquad v_2 = V - \frac{m_1}{m_1+m_2}v_{\text{отн}}, \] \[ v_1 = \frac{m_1 v}{m_1+m_2}\left(1+\frac{m_2}{m_1}\cos\omega t\right), \qquad v_2 = \frac{m_1 v}{m_1+m_2}\left(1-\cos\omega t\right). \]Проверка. При \(t = 0\): \(v_1 = v\), \(v_2 = 0\) ✓ — ровно
начальные условия. Импульс \(m_1v_1+m_2v_2 = m_1 v\) в любой момент ✓ (подставьте и
убедитесь, что косинусы сокращаются). Второе тело никогда не движется назад:
\(1-\cos\omega t \ge 0\) ✓, его скорость меняется от нуля до \(2V\). Первое тело
поворачивает назад \((v_1 < 0)\), только если \(m_2 > m_1\) ✓ — толкнув лёгкое
тело в тяжёлое, получим отскок, что и подсказывает интуиция. При \(m_2\to\infty\):
\(v_1 \to v\cos\omega t\), \(v_2\to0\) ✓ — пружина у стенки.
Ответ
\( v_1 = \dfrac{m_1v}{m_1+m_2}\left(1+\dfrac{m_2}{m_1}\cos\omega t\right) \),
\( v_2 = \dfrac{m_1v}{m_1+m_2}\left(1-\cos\omega t\right) \).