Задача 3.3.22включили постоянную силу
Условие
На тело, связанное со стенкой пружиной и находящееся в равновесии, начала действовать вдоль пружины постоянная сила \(F\). Чему равно наибольшее значение силы натяжения пружины и через какое время после включения оно достигается? Период свободных колебаний тела \(T\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Постоянная сила лишь сдвигает положение равновесия на \(F/k\). Тело стояло на месте —
значит теперь оно оказалось в крайней точке колебания с амплитудой \(F/k\) и
качнётся ровно вдвое дальше нового равновесия.
Новое равновесие. Оно смещено на \(x_0 = F/k\).
Амплитуда. Тело в начальный момент покоится в старой точке, отстоящей от нового равновесия на \(F/k\). Покой — признак крайней точки, значит
\[ A = \frac Fk . \]Наибольшее смещение и сила пружины. Тело доходит до \(2F/k\), где пружина растянута сильнее всего:
\[ F_{\max} = k\cdot\frac{2F}{k} = 2F, \]и происходит это через полпериода после включения:
\[ \tau = \frac T2 . \]Проверка. Знаменитый «коэффициент динамичности 2» ✓: внезапно
приложенная нагрузка растягивает пружину вдвое сильнее, чем та же нагрузка, приложенная
медленно. Тот же множитель мы видели в задаче 3.3.18 ✓. В момент
\(\tau = T/2\) скорость тела равна нулю ✓ — оно на мгновение останавливается, а затем
возвращается. Именно поэтому конструкции рассчитывают на удвоенную «внезапную»
нагрузку ✓.
Ответ
\( F_{\max} = 2F \), достигается через \( \tau = \dfrac T2 \).