В момент времени \(t_0\) координата тела, совершающего колебания с частотой \(\omega\), равна \(x_0\), а скорость равна \(v_0\). Докажите, что зависимость координаты от времени можно представить в виде
\[ x = x_0\cos\omega(t-t_0) + \frac{v_0}{\omega}\sin\omega(t-t_0). \]▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Это гармоническое колебание. Сумма двух гармоник одной частоты снова гармоника той же частоты. Действительно, обозначив \(\tau = t-t_0\),
\[ x = x_0\cos\omega\tau + \frac{v_0}{\omega}\sin\omega\tau = A\cos(\omega\tau - \varphi), \]где
\[ A = \sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}},\qquad \operatorname{tg}\varphi = \frac{v_0}{\omega x_0} \]— это обычное «свёртывание» суммы синуса и косинуса, то же самое, что сложение двух перпендикулярных векторов длиной \(x_0\) и \(v_0/\omega\).
Начальные данные. Подставим \(t = t_0\), то есть \(\tau = 0\):
\[ x(t_0) = x_0\cdot1 + \frac{v_0}{\omega}\cdot0 = x_0\ ✓ \]Скорость (каждое дифференцирование даёт множитель \(\omega\) и сдвиг фазы):
\[ \dot x = -x_0\omega\sin\omega\tau + v_0\cos\omega\tau, \qquad \dot x(t_0) = v_0\ ✓ \]Единственность. Любое гармоническое колебание частоты \(\omega\) имеет вид \(A\cos(\omega\tau-\varphi)\) — в нём два свободных параметра. Условия \(x(t_0) = x_0\) и \(\dot x(t_0) = v_0\) задают ровно два уравнения и определяют их однозначно. Значит найденная функция — та самая, и других нет.