Задача 3.3.24★ силу включили посреди колебания
Условие
Тело массы \(m\), подвешенное на пружине, колеблется по закону \(x = A_0\cos\omega t\). С момента времени \(t_0\) на тело начинает действовать вдоль пружины постоянная сила \(F\). Определите амплитуду колебаний относительно нового положения равновесия. При каком \(t_0\) эта амплитуда наибольшая? наименьшая?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Сила лишь переносит положение равновесия на \(F/k\). Новая амплитуда — это расстояние
от «изображающей точки» до нового центра, а его удобно считать по теореме косинусов:
вектор с составляющими \((x, v/\omega)\) остаётся прежним, а центр сдвигается.
Состояние в момент включения.
\[ x(t_0) = A_0\cos\omega t_0,\qquad \frac{v(t_0)}{\omega} = -A_0\sin\omega t_0 . \]Новая амплитуда. Отсчитывая от нового равновесия \(x_{\text{нов}} = F/k\),
\[ A^2 = \left(A_0\cos\omega t_0 - \frac Fk\right)^{\!2} + \left(A_0\sin\omega t_0\right)^{\!2}, \] \[ A = \sqrt{A_0^2 + \frac{F^2}{k^2} - \frac{2A_0F}{k}\cos\omega t_0}. \]Это в точности теорема косинусов для треугольника со сторонами \(A_0\) и \(F/k\) и углом \(\omega t_0\) между ними — что и понятно: на «фазовой плоскости» мы складываем старый радиус-вектор со сдвигом центра.
Крайние случаи. Амплитуда наибольшая, когда \(\cos\omega t_0 = -1\):
\[ \omega t_0 = \pi(2n+1),\qquad A_{\max} = A_0+\frac Fk, \]и наименьшая при \(\cos\omega t_0 = 1\):
\[ \omega t_0 = 2\pi n,\qquad A_{\min} = \left|A_0-\frac Fk\right| . \]Проверка. При \(A_0 = 0\) получаем \(A = F/k\) ✓ — это задача
3.3.22. При \(F = 0\) амплитуда не меняется ✓. Если включить силу в
тот момент, когда тело и так находится в крайней точке со стороны новой силы
\((\omega t_0 = 2\pi n)\) и при этом \(A_0 = F/k\), то \(A = 0\) ✓ — колебания гасятся
полностью одним точно рассчитанным включением. Это тот же приём, что и в задаче
3.3.16 ✓. Амплитуда зависит только от фазы включения, но не от
момента \(t_0\) как такового ✓ — период тут ни при чём.
Ответ
\( A = \sqrt{A_0^2+\dfrac{F^2}{k^2}-\dfrac{2A_0F}{k}\cos\omega t_0} \);
наибольшая при \( \omega t_0 = \pi(2n+1) \), наименьшая при \( \omega t_0 = 2\pi n \).