На горизонтальной ленте транспортёра, движущейся со скоростью \(u\), находится груз
массы \(m\), связанный пружиной жёсткости \(k\) с неподвижной стенкой. В начальный
момент пружина не деформирована и груз из-за трения движется вместе с лентой.
Определите амплитуду возникших колебаний.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
В начальный момент груз находится в положении равновесия и имеет скорость \(u\) — это
стандартный старт «из центра с ходу». Амплитуда такого колебания равна
\(v/\omega\).
Лента увлекает груз, и он стартует из недеформированного положения со
скоростью \(u\).
Начальные условия. Пружина не деформирована — значит груз в положении
равновесия; трение уже разогнало его до скорости ленты \(u\).
Амплитуда. Для колебания, начатого из центра со скоростью \(u\),
\[ A = \frac u\omega = u\sqrt{\frac mk}. \]
Проверка. Тот же результат даёт энергия:
\(\frac{mu^2}{2} = \frac{kA^2}{2}\) ✓. Чем быстрее лента, тем сильнее раскачка ✓; чем
жёстче пружина, тем меньше амплитуда ✓. Размерность \(u\sqrt{m/k}\) — метры ✓. Как
только груз начнёт отставать от ленты, вступит в игру трение скольжения — этим
занимается следующая задача ✓; здесь же спрашивается именно об амплитуде «возникших»
колебаний, определяемой начальным толчком.