Пусть в условии задачи 3.3.25 начальная скорость груза нулевая, а коэффициент трения равен \(\mu\). При какой скорости ленты движение груза будет гармоническим колебанием? Как зависит амплитуда установившихся колебаний от скорости ленты \(u\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пока груз скользит. Трение \(\mu mg\) направлено вперёд и сдвигает равновесие в точку \(x_{\text{р}} = \mu mg/k\). Груз стартует из покоя в точке \(x=0\), то есть в крайней точке колебания с амплитудой \(\mu mg/k\):
\[ x = \frac{\mu mg}{k}\left(1-\cos\omega t\right),\qquad v = \frac{\mu mg}{k}\,\omega\sin\omega t . \]Наибольшая скорость груза при этом
\[ v_{\max} = \frac{\mu mg}{k}\,\omega = \mu g\sqrt{\frac mk}. \]Быстрая лента. Если
\[ u \ \ge\ \mu g\sqrt{\frac mk}, \]груз никогда не догоняет ленту, трение всё время остаётся скользящим и постоянным — движение так и остаётся чисто гармоническим с амплитудой
\[ A = \frac{\mu mg}{k}. \]Медленная лента. При меньшей \(u\) груз догоняет ленту, «прилипает» к ней и некоторое время едет вместе с ней, пока пружина не пересилит трение покоя. Это происходит как раз в точке \(x = \mu mg/k\) — в новом положении равновесия, причём со скоростью \(u\). Дальше груз срывается и совершает колебание, начатое из центра со скоростью \(u\):
\[ A = u\sqrt{\frac mk}. \]Так устроен установившийся режим — знакомое «прилипание и проскальзывание».