Задача 3.3.27★ затухание из-за сухого трения
Условие
На горизонтальной плоскости лежит тело массы \(M\), связанное пружиной жёсткости \(k\) с неподвижной стенкой. Тело оттянули на расстояние \(l\) от положения равновесия и отпустили. Совершив \(n\) колебаний, тело остановилось. Чему равен коэффициент трения между телом и плоскостью, если после остановки пружина оказалась недеформированной?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Вся запасённая в пружине энергия уходит на трение, а работа трения — это просто
\(\mu Mg\) на весь пройденный путь. Остаётся сообразить, чему равен путь: при сухом
трении амплитуда убывает линейно, поэтому средняя амплитуда равна половине
начальной.
Энергия. В конце пружина не деформирована и тело стоит, значит вся начальная энергия израсходована:
\[ \frac{k l^2}{2} = \mu M g\,S, \]где \(S\) — полный путь.
Путь. При сухом трении амплитуда за каждое колебание уменьшается на одну и ту же величину — убывает линейно от \(l\) до нуля. За одно полное колебание тело проходит четыре амплитуды, а средняя амплитуда равна \(l/2\):
\[ S = 4n\cdot\frac l2 = 2nl . \]Коэффициент трения.
\[ \frac{kl^2}{2} = \mu Mg\cdot 2nl \quad\Longrightarrow\quad \mu = \frac{k l}{4 M g\,n}. \]Проверка. Чем больше колебаний успело произойти, тем меньше
трение ✓. Ответ линеен по начальному отклонению ✓ — при вдвое большем размахе то же
трение даст вдвое больше колебаний. Проверим линейность убывания амплитуды: за
полпериода амплитуда падает на \(2\mu Mg/k\) ✓ (это стандартный результат для сухого
трения), значит за \(n\) полных колебаний — на \(4n\mu Mg/k\), и приравнивая это к
\(l\), получаем тот же ответ ✓ — независимая проверка сошлась. Условие
«пружина не деформирована в конце» существенно ✓: вообще говоря тело может застрять и в
деформированном положении, если трения хватает, чтобы удержать пружину.
Ответ
\( \mu = \dfrac{kl}{4Mgn} \).