К маятнику \(AB\) с шариком массы \(M\) подвешен маятник \(BC\) с шариком массы
\(m\). Точка \(A\) совершает гармонические колебания по горизонтали с частотой
\(\omega\). Найдите длину нити \(BC\), если известно, что нить \(AB\) всё время
остаётся вертикальной.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Если \(AB\) вертикальна, её натяжение не даёт горизонтальной составляющей — значит
шарик \(M\) разгоняется исключительно нитью \(BC\). Отсюда сразу видно, какой должна
быть эта сила, а по ней — угол нижней нити и, наконец, её длина.
Верхняя нить всё время вертикальна, поэтому горизонтальную силу шарику
\(M\) сообщает только нижняя нить.
Уравнение для \(M\). Нить \(AB\) вертикальна, её натяжение горизонтальной
составляющей не имеет. Значит горизонтально шарик \(M\) тянет только нить \(BC\), у
которой натяжение примерно \(mg\), а угол с вертикалью \(\theta\):
\[ M\ddot x_B = mg\,\theta . \]
Так как \(x_B\) колеблется с частотой \(\omega\), \(\ddot x_B = -\omega^2 x_B\), и
\[ \theta = -\frac{M\omega^2}{mg}\,x_B . \]
Уравнение для \(m\). На нижний шарик действует горизонтальная составляющая
\(-mg\theta\), а его координата
\[ -m\omega^2 x_B\left(1 - \frac{LM\omega^2}{mg}\right)
= M\omega^2 x_B, \]
\[ -m + \frac{LM\omega^2}{g} = M
\quad\Longrightarrow\quad
L = \frac{g(M+m)}{M\omega^2}. \]
Проверка. Размерность верна ✓. При \(m\to0\) получается
\(L = g/\omega^2\) ✓ — нижняя нить настроена так, что маятник \(BC\) сам по себе имел бы
частоту \(\omega\): лёгкий шарик просто «висит в резонанс» и не мешает верхней нити.
Чем тяжелее верхний шарик, тем короче нужна нижняя нить ✓ — ей приходится сильнее
«тянуть» \(M\) вбок. При очень большой частоте \(L\) мало ✓. Заметим, что это и есть
принцип динамического гасителя колебаний: подобранный маятник полностью снимает
качание основного ✓.