Задача 3.3.29сила при колебании с фазой
Условие
Тело массы \(m\) колеблется по закону \(x = A\cos(\omega t+\varphi)\). Найдите зависимость силы от времени. Чему равно её наибольшее значение? В какие моменты сила принимает наибольшее по модулю значение?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Ускорение гармонического движения всегда равно \(-\omega^2x\), поэтому сила
пропорциональна смещению и максимальна там, где тело дальше всего от равновесия.
Сила.
\[ F = ma = -m\omega^2 x = -m\omega^2 A\cos(\omega t+\varphi). \]Наибольшее значение.
\[ |F|_{\max} = m\omega^2 A, \]достигается, когда \(|\cos(\omega t+\varphi)| = 1\), то есть при
\[ \omega t + \varphi = \pi n \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\pi n - \varphi}{\omega},\qquad n\ \text{— целое}. \]Проверка. Это моменты прохождения крайних точек ✓ — там
смещение максимально, скорость нулевая. Сила всегда направлена к положению равновесия ✓
(знак минус). Начальная фаза \(\varphi\) на величину силы не влияет, только сдвигает
моменты ✓. Полезная связка амплитуд: \(A,\ A\omega,\ A\omega^2\) для смещения, скорости
и ускорения ✓ — та же, что в задаче 3.3.1.
Ответ
\( F = -m\omega^2 A\cos(\omega t+\varphi) \), \( |F|_{\max} = m\omega^2A \) при
\( t = \dfrac{\pi n-\varphi}{\omega} \).