Задача 3.3.30груз на колеблющейся мембране
Условие
Горизонтальная мембрана совершает гармонические колебания по вертикали с частотой \(\omega\) и амплитудой \(A\). На мембране лежит маленький груз. При каком условии он будет колебаться вместе с мембраной, а при каком — начнёт отскакивать? Ниже или выше среднего положения мембраны происходит отрыв?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Мембрана может только толкать груз вверх, тянуть вниз она не умеет. Значит вниз груз
разгоняется исключительно тяжестью — с ускорением не больше \(g\). Как только
мембране требуется ускорение вниз больше \(g\), груз за ней не поспевает и отрывается.
Условие совместного движения. Ускорение мембраны \(a = -\omega^2 x\); вниз оно наибольшее в верхней точке и равно \(\omega^2 A\). Груз следует за мембраной, пока
\[ \omega^2 A \le g . \]Если же
\[ \omega^2 A > g, \]груз начинает отскакивать.
Где происходит отрыв. Реакция мембраны обращается в нуль там, где требуемое ускорение вниз равно \(g\):
\[ \omega^2 x = g \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{g}{\omega^2} > 0 . \]Координата положительна — отрыв происходит выше среднего положения мембраны, на высоте \(g/\omega^2\) над ним.
Проверка. Точка отрыва не зависит от амплитуды ✓ — она
определяется только частотой; чем быстрее колебания, тем ближе к среднему положению
происходит отрыв. Условие \(\omega^2A > g\) — это ровно «перегрузка больше \(1g\)» ✓,
привычный критерий для вибростолов и сит. При \(\omega^2A = g\) отрыв случается точно в
верхней точке ✓ — предельный случай, формулы согласуются. На этом же принципе работают
вибротранспортёры и просеиватели ✓.
Ответ
Груз движется вместе с мембраной при \( \omega^2A \le g \) и подскакивает при
\( \omega^2A > g \); отрыв — выше среднего положения, на высоте \( g/\omega^2 \).